Нужно вам, скажем, определить значение выражения: Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле: Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ: Вот и всё.
Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.Те, кто освоил темы "Тригонометрический круг", и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге" - люди грамотные. И, возможно, уже приготовили мне убойный вопрос.) По определению, скажем, arcsin 0,5 - это угол, синус которого равен 0,5. Т.е 30°. Но... Грамотный человек знает, что синус равен 0,5 не только у угла 30°! Так как: sin30° = 0,5 sin150° = 0,5 sin390° = 0,5 sin510° = 0,5 И так до бесконечности... Неоднозначно получается! Получается, что arcsin0,5 это и 30°, и 150°, и 390°, и 510°, и .... Да. Именно так. Арксинус 0,5 - это действительно бесконечный набор углов. Но обозначается такой арксинус вот как: Arcsin0,5. С заглавной буквы. В школе такие арксинусы не изучают. В школе изучают арки с маленькой буквы: arcsin, arccos, arctg, arcctg. Такие арки называются главными значениями арксинуса, арккосинуса и т.д. и имеют жёсткие ограничения по величине. Для однозначности. С этими ограничениями надо разобраться основательно. Тем более, что это дело простое.) Запоминаем:
arсsin (любой) - это угол, который располагается в интервале:
arсcos (любой) - это угол, который располагается в интервале:
arсtg (любой) - это угол, который располагается в интервале:
arсctg (любой) - это угол, который располагается в интервале:
Запомнить эти диапазоны очень легко по картинкам. Тригонометрический круг вам в помощь!) Для арксинуса:
Зелёным нарисованы углы, которые пробегают значения от - Пи/2 до + Пи/2. Это и есть разрешённая зона для арксинусов. И никаких дополнительных оборотов! Строго от -90° до +90°! Никакой arcsin не может быть равным, например 120°, 180° или 330°. А вот 50°, -65°, 90° или 25° - пожалуйста! Теперь, я думаю, понятно, что arcsin 0,5 = 30°. И только 30°! Так как углы 150°, 390°, 510° и т.д., которые тоже дают синус, равный 0,5, арксинусами быть не могут. Они выпадают из разрешённого диапазона. А теперь наведите курсор мышки на рисунок, или коснитесь картинки на планшете. Вы увидите диапазон арктангенсов. Найдите 2 отличия.) Да! Конечные точки на оси ОУ стали белыми! Это означает, что они не включаются в диапазон арктангенсов. Арктангенс не может быть равным ±90°. По той простой причине, что тангенс 90° (и -90°) не существует. Уже проще, правда?) Ну и, аналогичная картинка для арккосинуса и арккотангенса (при наведённом курсоре):
Надеюсь, зрительная память вас спасёт, если что...)
А зачем все эти арки? - слышу ещё один осторожный вопрос.) Вопрос резонный. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает. Только по острой необходимости!) А вы попробуйте ответить на такой вопрос: У какого угла синус равен 0,4? Для ответа в градусах или радианах вам придётся открывать таблицы Брадиса, или включать солидный калькулятор. Искать там значение синуса, равное (примерно!) 0,4 и смотреть, какой же угол имеет этот синус. После тяжких трудов вы определите, что это угол примерно 23 градуса и 36 минут. Про радианы я вообще молчу...) А через арксинус мгновенно даётся абсолютно точный ответ: угол, у которого синус равен 0,4 - это arcsin 0,4 ! Просто по смыслу арксинуса: arcsin 0,4 - это и есть угол, синус которого равен 0,4. Разумеется, это не единственный угол, синус которого равен 0,4, но через арки и все остальные записываются в три секунды. Этим мы в тригонометрических уравнениях займёмся. Если вы осознали этот забавный факт, то легко ответите на все подобные вопросы: У какого угла синус равен -0,7 ? У какого угла косинус равен 0,03 ? У какого угла тангенс равен 3 ? У какого угла котангенс равен 0,123 ? Вам кажутся странными эти вопросы? Привыкайте.) Это главные вопросы любого тригонометрического уравнения. Для решения таких уравнений арки подходят - лучше некуда. Здесь важно понимать, что arcsin (-0,7), arctg 3 и т.п. - это просто какие-то числа, величины углов. И отличаются от привычных градусов или радианов только компактной формой записи. Например, можно записать (точно!) величину угла в виде: arcsin 0,4 А можно записать (приблизительно) тот же самый угол через градусы. Это будет: ≈ 23,57817847820183110402...° Почувствуйте разницу...)
Осознали простой и важный смысл арков? Тогда порешаем самостоятельно. Примерчики от устных до хитрых.)
Вычислить: 1. sin(arcsin 0,5) = 2. sin(arcsin 0,4) = 3. cos(arcsin 0,6) = 4. tg(arcsin 12/13) = 5. arcsin(sin π/6) = 6. arctg(tg π/5) = 7. arccos(cos 4π/3) = 8. arccos(cos9π/8) =
Решить уравнение: 9. arcsin(х2+2x) = arcsin(3x+2)
Ответы (в беспорядке): 2,4; 7π/8; 0,5; π/5; -1; π/6; 0,4; 2π/3; 0,8. Ну, как? Всё получилось? Отлично! Арки - не ваша проблема! Не всё решилось? Тогда подсказка: в каких-то примерах хорошо работает словесная расшифровка, а в каких-то - простой последовательный расчёт. Примеры 3 и 4 смутили? Да, здесь надо знать связь между тригонометрическими функциями одного угла. Хотя, можно и без этих формул обойтись, если не помните... Все подобные примеры можно решать легко и просто, за одну минуту. Буквально. Без всякого преувеличения.Этот способ в Разделе 555 описан. С примерами 7 - 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.) Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.
Предыдущая страница: Таблица синусов и косинусов.
Следующая страница: Тригонометрические уравнения.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.) Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!) А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
|
|
||||||||||||||